该不该玩这个游戏

你正在图书馆枯坐,一位陌生美女主动过来和你搭讪,并要求和你一起玩个数学游戏。妹纸提议:“让我们各自亮出硬币的一面,或正或反。如果我们都是正面,那么我给你3元,如果我们都是反面,我给你1元,剩下的情况你给我2元就可以了。”

各位分析一下,该不该和这妹纸玩这个游戏呢?


首先,第一反应是算期望的男生,活该孤独一生...

然后,仔细算下期望的话,还真是个有趣的问题。

大致算一下,似乎是一个零和游戏,但是,其实这并不是一零和游戏。

考虑一种更特殊的情况,如果把题目变成两正美女给你6块,两反美女给你-2块(你给美女2块),一正一反你给美女2块,你按前面相同的方法,将算出自己的期望是6/4+(-2)/4 + (-2)*2/4 = 0元。

但,明显,这种情况下,美女每局出反的话,你是必赔的。


想到这里,就可以把本问题转变成另一个问题了,如果美女很聪明,并且她想赢你,她应该如何亮硬币?

假设美女出正面的概率为p,则其出反面的概率是1-p:

当你出正时,美女获利的数学期望是:

E(1) = - 3p + 2(1-p) = 2 - 5p

当你出反时,美女获利的期望是:

E(2) = 2p - (1-p) = 3p - 1

当 E(1) = E(2)时,

p = 3/8,E= 1/8

即美女如果能保证随机的3/8概率出正,则美女平均每局可获利1/8元。

此时,假设你出正的概率是p, 你的收益期望为: E = 3/8 * p * 3 + 5/8 * (1-p) - 2 * (3/8 *(1-p) + 5/8*p) = -1/8

即,无论你如何出硬币,你的预期收益都是平均每局-1/8元。


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